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O que é e tipos de função exponencial?

A função exponencial é utilizada para compreender e descrever situações que apresentam crescimento ou queda de caráter exponencial. Há alguns tipos dessa função, sobre os quais iremos tratar ao longo da postagem. Lembrando que esse é um tema recorrente em provas do Enem e vestibulares!

O que é função exponencial? 

As funções são utilizadas pelo ser humano para a compreensão da relação existente entre as grandezas. Há diferentes tipos de função, sendo um deles a exponencial.

Essa função possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais. Sua variável está em um expoente na sua lei de formação. No caso das funções exponenciais, a lei de formação é sempre a seguinte: f(x) = ax. Sendo que “x” é a variável e “a” é a base. 

Como mencionamos acima, as funções exponenciais são empregadas para a descrição de situações que apresentam crescimento ou queda de forma exponencial. No mercado financeiro, por exemplo, a função exponencial é bastante usada, especialmente em situações que envolvem juros compostos. Essas funções podem ser usadas ainda por áreas como a Biologia (para analisar a reprodução de algumas culturas de bactérias) e na química (para analisar reações). 

Uma função exponencial pode ser crescente ou decrescente, isso depende do valor de “a” que é a base. A função é crescente quando a > 1, isto é, quando a base é maior do que 1. Por sua vez, a função é decrescente quando 0 < a <1, ou seja, quando a base está entre 0 e 1. É importante observar que a função exponencial é inversa à função logarítmica. 

Exemplo de função exponencial

Confira a seguir um exemplo de função exponencial.

f(x) = 2x

f (x) = 0,5x

f(x) = 1x

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Valor numérico de uma função exponencial: como encontrar?

O valor numérico de uma função exponencial pode ser encontrado substituindo a variável pelo valor desejado. Entenda melhor a partir do exemplo a seguir: 

Usaremos nesse exemplo a função com lei de formação f(x) = 3x:

a) Cálculo de f(2)

f(2) = 32

f(2) = 9

b) Cálculo de f(– 2)

f(– 2) = 3-2

f(– 2) = (⅓)2

f(– 2) = (12 / 32)

f(– 2) = 1 / 9

c) Cálculo de f(0)

f(0) = 30

f(0) = 1

Tipos de função exponencial

Há dois tipos de função exponencial: crescente e decrescente. Nas funções crescentes, conforme o valor de x aumenta, há o aumento também de f(x). Já nas funções decrescentes, conforme o valor de x diminui, há a redução do valor de f(x). Para identificar se a função exponencial é f(x) = ax é crescente ou decrescente é preciso analisar o valor da base a.

Quando a > 1, a função f(x) é crescente.

Exemplo:

f(x) = 2x

f(x) = 1,5x

Já quando 0 < a < 1, temos uma função f(x) decrescente.

Exemplo: 

f(x) = (1/2)2

f (x) = 0,4x

Função exponencial: gráfico

A base da função exponencial é sempre positiva, dessa forma, o gráfico da função terá como imagem valores positivos. Isso significa que está sempre acima do eixo x. 

Propriedades da função exponencial

Confira abaixo as propriedades da função exponencial. 

1ª propriedade

Em uma função exponencial do tipo f(x) = ax, a imagem de x = 0 será sempre 1. Essa é uma consequência da propriedade de potenciação, que diz que todo número elevado a zero é igual a um. 

f(0) =a0 = 1

2ª propriedade

Como já citamos, a função exponencial pode ser crescente ou decrescente, contudo, apresenta comportamento exclusivamente crescente quando a base é maior do que 1. Já no caso de ter base “a” com valor entre 0 e 1, o comportamento é decrescente. 

3ª propriedade

A função exponencial é injetora. A partir de quaisquer dois números reais distintos, isto é, x1 ≠ x2, teremos f(x1) ≠ f(x1).

4ª propriedade

O gráfico da função exponencial jamais corta o eixo x. A base é sempre um número positivo, então independentemente do quão pequeno seja o valor de x, jamais será igual a 0. Logo, a imagem da função será sempre um número real positivo não nulo. 

Função exponencial e função logarítmica

Funções exponenciais são funções inversíveis. A função logarítmica é a função inversa de uma função exponencial. Teremos um gráfico simétrico se traçarmos no mesmo plano cartesiano o gráfico de uma função exponencial de base e de uma função logarítmica de base. 

Revisão

Confira abaixo o resumo dos principais pontos a respeito de função exponencial. 

– A lei de formação das funções exponenciais é f(x) = ax.

– a é um número real positivo diferente de 1, essa é a base da potência. 

– x é a variável da função. 

– Funções exponenciais podem ser crescentes ou decrescentes. Quando a > 1 → f(x) é crescente. Mas, se  0 < a < 1 → f(x) então é decrescente.

– Função exponencial é inversa a função logarítmica. 

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