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O que é a Lei dos Cossenos?

Bastante utilizada na Matemática, a Lei dos Cossenos tem como objetivo calcular a medida de um lado ou de um ângulo desconhecido de qualquer triângulo, desde que se conheçam suas outras medidas. No artigo a seguir iremos explicar com mais detalhes a que se refere essa lei e como aplicá-la. 

Lei dos Cossenos: o que é?

O Teorema dos Cossenos diz que em qualquer triângulo o quadrado de um dos seus lados é equivalente à soma dos quadrados dos outros dois, subtraindo o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Seguindo essa linha de raciocínio, temos então as seguintes relações:

a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos α

b2  =  a2 + c2 – 2.a.c. cos β

c2 = a2 + b2 – 2.a.b. cos φ

Exemplos

Para que seja mais fácil compreender a Lei dos Cossenos iremos apresentar exemplos a seguir.

Exemplo 1 – Neste exemplo temos um triângulo cujos lados medem 20 cm e 12 cm. O ângulo formado entre os dois lados é de 120°. Nesse exemplo iremos calcular a medida do terceiro lado através da Lei dos Cossenos. 

Resolução

O cálculo do terceiro lado do triângulo será feito através da Lei dos Cossenos. Logo, iremos considerar que: 

b = 20 cm

c = 12 cm

cos α = cos 120º = – 0,5 (esse valor pode ser consultado em tabelas trigonométricas).

Colocando os valores na fórmula:

a2 = 202 + 122 – 2. 20. 12 . (-0,5)

a2 = 400 + 144 + 240 

a2 = 784

a = √784

a = 28 cm

Então a resolução do primeiro exemplo nos levou a conclusão de que o terceiro lado mede 28 cm. 

Exemplo 2 – Neste exemplo o objetivo é determinar a medida do lado AC, assim como a medida do ângulo do vértice em A da figura abaixo:

Resolução

O primeiro passo é determinar o AC = b

b2 = 82 + 102 – 2. 8. 10 . cos 50°

b2 = 164 – 160. cos 50°

b2 = 164 – 160. 0,64279

b ≈ 7,82

O segundo passo é determinar qual é a medida do ângulo de acordo com a Lei dos Cossenos: 

82 = 102 + 7,822 – 2. 10. 7,82 . cos Â

64 = 161,1524 – 156,4 cos Â

cos  = 0,62

 = 52º

Importante

Os valores dos ângulos do cosseno foram consultados na Tabela Trigonométrica. Essa tabela possui os valores dos ângulos de 1° a 90° para cada uma das funções trigonométricas, ou seja: seno, cosseno e tangente. 

Qual é a aplicação da Lei dos Cossenos?

É importante dizer que a Lei dos Cossenos pode ser aplicada a qualquer triângulo, independentemente de ser um obtusângulo (que possui um ângulo interno superior a 90°), um acutângulo (cujos ângulos internos são menores do que 90°) ou retângulo (que tem ângulo interno igual a 90°). 

Aplicação da Lei dos Cossenos em Triângulos Retângulos

Para quem ficou com dúvidas sobre a aplicação da Lei dos Cossenos em triângulos retângulos iremos explicar melhor abaixo. Neste exemplo aplicaremos a lei para o lado oposto ao ângulo de 90°, como aparece abaixo: 

a2 = b2 + c2 – 2. b. c. cos 90º

Como o cos 90° é igual a 0 então ficamos com a expressão da seguinte forma: 

a2 = b2 + c2

Essa expressão é igual ao Teorema de Pitágoras. Dessa forma, podemos dizer que esse teorema é um caso peculiar dentro da Lei dos Cossenos. 

Conclusão

Basicamente, a Lei dos Cossenos é empregada quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo formado entre eles e se deseja descobrir o terceiro lado. É possível ainda utilizar essa lei nos casos em que se conhece os três lados do triângulo e se quer saber um dos seus ângulos. Nos casos em que conhecemos dois ângulos e um lado de um triângulo e desejamos saber o outro lado, é mais interessante utilizar a Lei dos Senos. 

Cosseno e Seno: definição

Seno e cosseno de um ângulo são razões trigonométricas em um triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo reto de 90° é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados de catetos. 

O cosseno é a razão entre a medida do cateto adjacente e a hipotenusa, ficando assim:

Cosseno = cateto adjacente / hipotenusa

O seno é a razão entre a medida do cateto oposto e a hipotenusa, fica dessa forma:

Seno = cateto oposto / hipotenusa

Com essas definições fica mais fácil saber quando usar a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos. 

O que é Tangente?

A tangente é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Dessa forma, fica assim:

Tangente = cateto oposto / cateto adjacente

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