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Como funciona o teorema de Pitágoras?

O Teorema de Pitágoras consiste em uma relação matemática essencial para o cálculo das medidas de um triângulo retângulo. Basicamente, esse teorema define que: “o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado da medida dos catetos”.

No artigo a seguir explicaremos com mais detalhes esse conteúdo, que é um dos mais recorrentes nas provas de matemática do Enem e vestibulares. Fica a dica de que é bem mais simples do que parece! 

O que é o Teorema de Pitágoras?

Resumidamente, o teorema de Pitágoras define a relação matemática existente entre os lados de um triângulo retângulo. A base desse teorema está na compreensão de que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Esse teorema tem grande relevância para a Matemática e influenciou uma série de outros avanços dessa área. 

O teorema de Pitágoras é aplicado somente a triângulos retângulos. Recebem esse nome os triângulos que têm um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90°, aquele formado pelo encontro de duas setas perpendiculares. Logo, somente será possível aplicar esse teorema se o triângulo em questão for um triângulo retângulo. 

Uma dica é a de que uma das retas deve ficar totalmente tangenciada ao chão. Caso seja necessário, rotacione a imagem do triângulo mentalmente. A reta perpendicular deve conseguir encostar perfeitamente no chão imaginário. 

Teorema de Pitágoras: conheça a sua fórmula

Para compreender a fórmula do teorema de Pitágoras é essencial conhecer as nomenclaturas atribuídas aos lados de um triângulo retângulo. O maior ângulo em um triângulo retângulo é o de 90°. 

O lado oposto a esse ângulo de 90° é também o maior lado do triângulo. Esse lado é chamado de hipotenusa e, no exemplo abaixo, é representado pela letra “a”. Os outros dois lados do triângulo são chamados de catetos e nesse exemplo são representados pelas letras “b” e “c”. 

De acordo com o teorema de Pitágoras, a seguinte afirmação é válida:

a2 = b2 + c2

Logo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Viu como é simples compreender o que o teorema diz? A fórmula traduz exatamente o que esse teorema diz. 

Demonstração do Teorema de Pitágoras

Para compreender melhor como funciona o teorema de Pitágoras, que tal conferir uma demonstração? Nossa demonstração terá como base o quadrado ABCD abaixo que tem um lado medindo (b + c). 

O primeiro passo para a resolução é determinar a área do quadrado ABCD.

AABCD =  (b + c)2 = b2 + 2bc  + c2

O passo seguinte é a determinação da área do quadrado EFGH.

AEFGH = a2

A partir dessa demonstração, podemos concluir que há quatro triângulos congruentes:

AEH ≡ BEF ≡ CFG ≡ DGH 

Seguimos, então, para o terceiro passo, que consiste no cálculo da área desses triângulos: 

ATriângulo = Triângulo = b·c / 2

Por fim, chegamos ao quarto e último passo que diz respeito ao cálculo da área do quadrado EFGH usando a área do quadrado ABCD. Observe que se consideramos somente a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos (lembrando que são as mesmas) sobrará somente o quadrado EFGH, temos então: 

AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo

Através da substituição dos valores obtidos no primeiro, segundo e terceiro passo teremos: 

a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc / 2

a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc

a2 = b2 + c2

O que é Triângulo Pitagórico?

Recebe o nome de triângulo pitagórico qualquer triângulo retângulo cuja medida de seus lados esteja de acordo com o teorema de Pitágoras. Confira os exemplos a seguir de triângulos pitagóricos:

Esse triângulo é um triângulo pitagórico porque:

52 = 32 + 42

A seguir vamos apresentar o exemplo de um triângulo que NÃO é pitagórico: 

Nesse triângulo, temos que: 

262 ≠ 242 +72

O Teorema de Pitágoras e os números irracionais

O desenvolvimento do teorema de Pitágoras levou a uma descoberta significativa. A construção de um triângulo retângulo cujos catetos são iguais a 1 levou os matemáticos da época a se depararem com um desafio considerável. Ao chegar ao valor da hipotenusa, eles se viram diante de um número até então desconhecido: 

Ao aplicar o teorema de Pitágoras chegamos a:

x2 = 12 + 12    x2 = 2   x = √2

Os matemáticos da época encontraram um número que hoje em dia é chamado de número irracional. Os números irracionais são aqueles com representação decimal que consiste em uma dízima não periódica. Nessa categoria estão as raízes não exatas, o , entre outros. Durante um bom tempo esses números geraram inquietação e curiosidade entre os matemáticos. 

Agora você já sabe o que é e como funciona o Teorema de Pitágoras!